Ngày xưa, chắc ai trong chúng ta cũng đã làm qua các bài tập này. Mình cũng vậy nó nằm trong 1000 bài tập của thầy Nguyễn Tấn Trần Minh Khang. Nhưng chắc nhiều bạn giải bài với mục đích ra kết quả đúng là được :))), Nhưng nhiều lúc có nhiều vấn đề thực tế đòi hỏi chúng ta phải tư duy để giải quyết vấn đề vừa đúng mà vừa nhanh phải không nào 😗😗.
Mục đích của bài này là mình sẽ giúp các bạn giải các bài trên với độ phức tạp là O(1) thay vì là O(n). Để làm được điều này chúng ta cần nhớ lại các kiến thức về cấp số cộng, cấp số nhân để thấy sự xảo diệu của toán học :)).
Mình sẽ lấy python làm ví dụ minh họa.

Cấp số cộng ( CSC )

Định nghĩa: Là một dãy số trong đó kể từ số thứ hai trở đi thì hiệu của nó và số trước nó là một số không đổi người ta gọi là phương sai.
Gồm hai loại:

1. CSC hữu hạn phần từ.
2. CSC vô hạn phần tử.

Ví Dụ:

1. 1,2,3,4,5,6 là một cấp số cộng hữu hạn phần tử với phương sai là 1.
2. 2,4,6,8,10,12.... là một cấp số cộng vô hạn phần tử với phương sai là 2.

Phân Loại thêm:

1. dãy tăng dần.
2. dãy giảm dần.
3. dãy chặn trên. Ví dụ: với mọi x thuộc N và x <=5 ta có dãy ..,4,5 thì giá trị 5 được gọi là hệ số chặn trên vì nó chặn bên phải.
4. dãy chặn dưới. Ví dụ: với mọi x thuộc N ta có dãy 0,1,2,3,4,5,... thì giá trị 0 được gọi là hệ số chặn dưới vì nó chặn bên trái.
5. dãy vừa chặn trên vừa chặn dưới.  Ví dụ: với mọi x thuộc N và 5<=x<=10 là dãy vừa chặn trên và chặn dưới. Với hệ số chặn dưới là 5 và hệ số chặn dưới là 10.

Cấp số nhân ( CSN )

Định nghĩa: Là một dãy số trong đó kể từ số thứ hai trở đi thì thương của nó và số trước nó là một số không đổi người ta gọi là công bội.
Gồm hai loại:

1. CSN hữu hạn phần từ.
2. CSN vô hạn phần tử.

Ví Dụ:

1. 1,2,4,8,16,32 là một cấp số nhân hữu hạn phần tử với công bội là 2.
2. 1,1/3,1/9,1/27,1/81.... là một cấp số nhân vô hạn phần tử với công bội là 1/3.

def sum():
    return (1+n)*(n/2)